§ 6. Функции y = tg x и y = ctg x.  Их свойства и графики

Функция y = tg x. Свойства и график

Зависимость, при которой каждому действительному числу x ≠ π/2 + πn, n ϵ Z соответствует значение tg x, называется функцией

y = tg x.

1. Область определения функции y = tg x — все действительные числа, кроме π/2 + πn, n ϵ Z (т. е. те значения, при которых

cos x = 0). 

2. Множеством значений функции y = tg x — E(tg x) = (–∞; ∞).

3. Периодичность функции y = tg x. Функция y = tg x является периодической с наименьшим положительным периодом T = π, т. е. tg α = tg (α + π) = tg (α – π). 

4. Четность (нечетность) функции. Функция y = tg x нечетная, т. е. tg (–x) = –tg x.

5. Нули функции —  x = πn, n ϵ Z (значения х, при которых sin x = 0).

6. Промежутки знакопостоянства функции. Функция y = tg x принимает положительные значения на промежутках (πn; π/2 + πn),

n ϵ Z (первая и третья четверти), т. е. значения х, при которых значения sin x и cos x принимают одинаковые значения. Функция y = tg x принимает отрицательные значения на промежутках (–π/2 +πn; πn), n ϵ Z (вторая и четвертая четверти), т. е. значения х, при которых значения sin x и cos x имеют разные знаки.

7. Монотонность функции. Функция y = tg x возрастает на каждом из промежутков (–π/2 + πn; π/2 + πn), n ϵ Z.

Функция y = tg x не имеет наибольшего и наименьшего значений, т. к. E(tg x) = (–∞; ∞). 

График функции y = tg x называется тангенсоидой.

Функция y = ctg x. Свойства и график

Зависимость, при которой каждому действительному числу x ≠ πn, n ϵ Z  соответствует значение ctg x, называется функцией

y = ctg x.

1. Область определения функции y = ctg x — все действительные числа, кроме πn, n ϵ Z (т. е. те значения, при которых

sin x = 0). 

2. Множеством значений функции y = tg x — E(ctg x) = (–∞; ∞).

3. Периодичность функции y = ctg x. Функция y = ctg x является периодической с наименьшим положительным периодом T = π, т. е. ctg α = ctg (α + π) = ctg (α – π). 

4. Четность (нечетность) функции. Функция y = ctg x нечетная, т. е. ctg (–x) = –ctg x.

5. Нули функции —  x = π/2 + πn, n ϵ Z (значения х, при которых cos x = 0).

6. Промежутки знакопостоянства функции. Функция y = ctg x принимает положительные значения на промежутках (πn; π/2 + πn),

n ϵ Z (первая и третья четверти), т. е. значения х, при которых значения sin x и cos x принимают одинаковые значения. Функция

y = ctg x принимает отрицательные значения на промежутках (π/2 + πn; π + πn), n ϵ Z (вторая и четвертая четверти), т. е. значения х, при которых значения sin x и cos x bмеют разные знаки.

7. Монотонность функции. Функция y = ctg x убывает на каждом из промежутков (πn; π+ πn), n ϵ Z.

Функция y = сtg x не имеет наибольшего и наименьшего значений, т. к. E(сtg x) = (–∞; ∞). 

График функции y = сtg x называется котангенсоидой.